Fiche synthèse des propriétés et applications de la trigonométrie : transformations remarquables, équations, formules, fonctions, valeurs remarquables
La trigonométrie est une branche de la mathématique qui étudie les relations entre les angles et les longueurs des côtés d’un triangle. Elle utilise des fonctions mathématiques telles que sinus, cosinus et tangente pour décrire ces relations. La trigonométrie est utilisée dans de nombreux domaines, tels que la géométrie, l’astronomie, la physique, la mécanique et l’ingénierie.
Domaine de définition
\(cos(x)\) et \(arccos(x)\) défini sur \([-1;1]\)
\(sin(x)\) et \(arcsin(x)\) défini sur \([-1;1]\)
\(arctan(x)\) défini sur \(\mathbb{R} \rightarrow\) ensemble image sur \(]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[\)
Relations fondamentales
$$tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)}$$ $$sin^2(x) + cos^2(x) = 1 $$ $$sin^2(x) = \frac{tan^2(x)}{1+tan^2(x)}$$ $$cos^2(x) = \frac{1}{1+tan^2(x)}$$
Transformations remarquables
| $$sin(2\pi+x) = sin(x)$$ | $$cos(2\pi+x) = cos(x)$$ | $$tan(2\pi+x) = tan(x)$$ |
| $$sin(-x) = -sin(x)$$ | $$cos(-x) = cos(x)$$ | $$tan(-x) = -tan(x)$$ |
| $$sin(\pi-x) = sin(x)$$ | $$cos(\pi-x) = -cos(x)$$ | $$tan(\pi-x) = -tan(x)$$ |
| $$sin(\pi+x) = -sin(x)$$ | $$cos(\pi+x) = -cos(x)$$ | $$tan(\pi+x) = tan(x)$$ |
| $$sin(\frac{\pi}{2}-x) = cos(x)$$ | $$cos(\frac{\pi}{2}-x) = sin(x)$$ | $$tan(\frac{\pi}{2}-x) = \frac{1}{tan(x)}$$ |
| $$sin(\frac{\pi}{2}+x) = cos(x)$$ | $$cos(\frac{\pi}{2}+x) = sin(x)$$ | $$tan(\frac{\pi}{2}+x) = \frac{-1}{tan(x)}$$ |
| $$sin(\frac{3\pi}{2}-x) = -cos(x)$$ | $$cos(\frac{3\pi}{2}-x) = -sin(x)$$ | $$tan(\frac{3\pi}{2}-x) = \frac{1}{tan(x)}$$ |
| $$sin(\frac{3\pi}{2}+x) = -cos(x)$$ | $$cos(\frac{3\pi}{2}+x) = sin(x))$$ | $$tan(\frac{3\pi}{2}+x) = \frac{-1}{tan(x)}$$ |
| $$cos(x-\frac{\pi}{2}) = sin(x))$$ |
Équations trigonométriques
\(k \in \mathbb{Z}\)
Si \(sin(a)=sin(b)\), alors \(a=b+2k\pi\) ou \(a=\pi-b+2k\pi\)
Si \(cos(a)=cos(b)\), alors \(a=b+2k\pi\) ou \(a=-b+2k\pi\)
Si \(tan(a)=tan(b)\), alors \(a=b+2k\pi\)
Formules d’addition
| $$sin(a+b) = sin(a).cos(b) + sin(b).cos(a)$$ | $$cos(a+b) = cos(a).cos(b) – sin(a).sin(b)$$ |
| $$sin(a-b) = sin(a).cos(b) – sin(b).cos(a)$$ | $$cos(a-b) = cos(a).cos(b) + sin(a).sin(b)$$ |
| $$tan(a+b) = \frac{tan(a)+tan(b)}{1-tan(a).tan(b)}$$ | $$tan(a-b) = \frac{tan(a)-tan(b)}{1-tan(a).tan(b)}$$ |
| $$sin(p)+sin(q) = 2.sin(\frac{p+q}{2}).cos(\frac{p-q}{2})$$ | $$sin(p)-sin(q) = 2.sin(\frac{p-q}{2}).cos(\frac{p+q}{2})$$ |
| $$cos(p)+cos(q) = 2.cos(\frac{p+q}{2}).cos(\frac{p-q}{2})$$ | $$cos(p)-cos(q) = -2.sin(\frac{p+q}{2}).sin(\frac{p-q}{2})$$ |
| $$tan(p)+tan(q) = \frac{sin(p+q)}{cos(p).cos(q)}$$ | $$tan(p)-tan(q) = \frac{sin(p-q)}{cos(p).cos(q)}$$ |
| $$sin(a).sin(b)=\frac{1}{2}*(cos(a-b)-cos(a+b))$$ | $$cos(a).cos(b)=\frac{1}{2}*(cos(a+b)-cos(a-b))$$ |
| $$sin(a).cos(b)=\frac{1}{2}*(sin(a+b)-sin(a+b))$$ |
Formules de duplication
$$sin(2a)=2 sin(a).cos(a)=\frac{tan(a)}{1+tan^2(a)}$$ $$sin^2(x)+cos^2(x)=1$$ $$cos(2a) = cos^2(a)-sin^2(a) = 2cos^2(a)-1 = 1-2sin^2(a)$$ $$tan(2a) = \frac{2tan(a)}{1-tan^2(a)}$$ $$sin^2(a) = \frac{1-cos(2a)}{2}$$ $$cos^2(a) = \frac{1+cos(2a)}{2}$$ $$tan^2(a) = \frac{1-cos(2a)}{1+cos(2a)}$$ $$tan(a) = \frac{sin(2a)}{1+cos(2a)}=\frac{1-cos(2a)}{sin(2a)}$$ En posant \(t=tan (\frac{a}{2})\): $$sin(a)=\frac{2t}{1+t^2}$$ $$cos(a)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$$ $$tan(a)=\frac{2t}{1-t^2}$$
Formule de Moivre
$$(cos(a)+i.sin(a))^n=cos(n.a)+i.sin(n.a)$$
Formule d’Euler
$$cos(\theta)=\frac{1}{2}(e^{i.\theta}+e^{-i.\theta})$$ $$sin(\theta)=\frac{1}{2i}(e^{i.\theta}-e^{-i.\theta})$$ $$e^i\theta=cos(\theta)+i.sin(\theta)$$
Valeurs en points remarquables
| $$0$$ | $$\frac{\pi}{6}$$ | $$\frac{\pi}{4}$$ | $$\frac{\pi}{3}$$ | $$\frac{\pi}{2}$$ | |
| $$sin(x)$$ | $$0$$ | $$\frac{1}{2}$$ | $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ | $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ | $$1$$ |
| $$cos(x)$$ | $$1$$ | $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ | $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ | $$\frac{1}{2}$$ | $$0$$ |
| $$tan(x)$$ | $$0$$ | $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$ | $$1$$ | $$\sqrt{3}$$ | $$\nexists$$ |
| $$cotan(x)$$ | $$\nexists$$ | $$\sqrt{3}$$ | $$1$$ | $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$ | $$0$$ |
Fonctions trigonométriques
Circulaires directes : \(sin(x)\), \(cos(x)\), \(tan(x)\), \(cotan(x)\), \(sec(x)\), \(cosec(x)\)
$$cotan(x) = \frac{1}{tan(x)}$$
$$cotanh(x) = \frac{1}{tanh(x)}$$
$$sec(x) = \frac{1}{cos(x)}$$
$$sech(x) = \frac{1}{cosh(x)}$$
$$cosec(x) = \frac{1}{sin(x)}$$
$$cosech(x) = \frac{1}{sinh(x)}$$
Circulaires réciproques : \(arcsin(x)\), \(arccos(x)\), \(arctan(x)\), \(arccotan(x)\), \(arcsec(x)\), \(arccosec(x)\)
Hyperboliques directes : \(sinh(x)\), \(cosh(x)\), \(tanh(x)\), \(cotanh(x)\), \(sech(x)\), \(cosech(x)\)
Hyperboliques réciproques : \(argsinh(x)\), \(argcosh(x)\), \(argtanh(x)\), \(argcotanh(x)\), \(argsech(x)\), \(argcosech(x)\)