Les matrices sont des outils mathématiques qui permettent de stocker et de manipuler des données sous forme de tableaux organisés en lignes et en colonnes. Les matrices sont utilisées dans de nombreux domaines des mathématiques, comme l’algèbre linéaire, la géométrie, la physique et l’informatique.
Une matrice peut être décrite comme un tableau rectangulaire contenant des nombres, appelés « éléments » ou « termes », disposés en lignes et en colonnes. Les matrices peuvent être de différentes tailles, en fonction du nombre de lignes et de colonnes qu’elles contiennent.
Il existe différents types de matrices, comme les matrices diagonales, les matrices triangulaires, les matrices symétriques et les matrices orthogonales. Les matrices peuvent également être combinées pour former de nouvelles matrices en utilisant des opérations comme l’addition, la soustraction et la multiplication.
Les matrices sont un outil puissant pour la résolution de systèmes d’équations linéaires, la transformation géométrique, la représentation de graphes et bien d’autres domaines. Elles sont également un élément clé des calculs matriciels qui jouent un rôle crucial dans les domaines de la physique, de l’informatique, des statistiques, de l’intelligence artificielle, etc.
Définitions & écritures
Matrices de dimension m x n : tableau de nombres composés de m lignes et n colonnes
Matrice carré d’ordre n : n lignes et n colonnes
Matrice nulle d’ordre n : tous les coefficients nuls
Matrice identité : noté \(I_n\), 1 sur la diagonale et 0 ailleurs \(I_n=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \)
Opérations
Addition : Somme de 2 matrices de même dimension m x n
Exemple :
$$C=A+B=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 & -5 \\ 2 & -3 & 3 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{cc} 2 & -1 & 3 \\ -2 & 1 & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 3 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 4 \end{array} \right]$$
Multiplication par un réel : Soit un réel \(\lambda\) et une matrice A
Exemple : $$ B=\lambda.A=5* \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 & -5 \\ 2 & -3 & 3 \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{cc} 5 & 10 & -25 \\ 10 & -15 & 15 \end{array} \right]$$
Différence : \(A-B \leftrightarrow A+(-1).B \rightarrow \) Matrice opposée de B : \(-B=-1*B\)
Multiplication :
Une matrice ligne par une matrice colonne :
$$A*B=\sum_{j=1}^{j=n} a_{1j} b_{j1}$$
(nombre de colonne de A = nombre de lignes de B)
Exemple :
$$A*B= \left[ \begin{array}{cc} 1 & -2 & 5 \end{array} \right] * \left[ \begin{array}{cc} 4 \\ 1 \\ -3 \end{array} \right] =1*4+(-2)*1+5*(-3)=-13$$
Matrice m x n par Matrice n x p : A*B=C (nombre de colonne de A = nombre de lignes de B)
Propriétés: Addition & Multiplication par un réel
Commutativité de l’addition : A+B=B+A
Associativité de l’addition :(A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C
Distributivité de la multiplication par un réel sur l’addition : \(\lambda(A+B)=\lambda.A + \lambda.B\)
Distributivité de la multiplication sur l’addition des réels: \((\lambda+\mu)A=\lambda.A+\mu.A\)
Autre : \(\lambda(\mu.A)=(\lambda.\mu)A=\lambda.\mu.A\)
Propriétés : multiplication de matrices carrées
A,B,C matrices carrées d’ordre n ; \(\lambda\) un réel
Associativité : \((AB)C=A(BC)\)
Multiplication par un réel et une multiplication : \(\lambda(AB)=(\lambda.A)B=A(\lambda.B)\)
Multiplication sur l’addition : \(A(B+C)=AB+AC\)
Élément neutre : \(A*I_n=I_n*A=A\)
Non-commutativité : \(AB \neq BA\)
Matrice inverse
Une matrice carré A d’ordre n est inversible (ou régulière) s’il existe une matrice carré A’ d’ordre n tel que : \(A.A’= I_n et =A’.A=I_n \rightarrow \text{ Matrice inverse } A^{-1}\)
Matrice : \(\lambda. A\), matrice inverse: \(\frac{1}{\lambda} A^{-1}; (AB)^{-1}=B^{-1} A^{-1}\)
Déterminant
Une matrice carré A d’ordre 2 (ou +) est inversible si et seulement si son déterminant n’est pas égal à 0.
$$A=\left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right]$$
Déterminant :
$$ det= ad-bc = det(A)=\left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|=a_{11}.a_{22}-a_{12}.a_{21} $$
Matrice inverse :
$$A^{-1}=\frac{1}{det} \left( \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right)$$
Matrice d’ordre 3:
$$A=\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right)$$
Déterminant :
$$det(A) = \left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right|= a_11 \left| \begin{array}{cc} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{array} \right| – a_12 \left| \begin{array}{cc} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{array} \right| + a_13 \left| \begin{array}{cc} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array} \right|$$
Matrice inverse :
$$A^{-1}=\frac{1}{det} \left( \begin{array}{cc} a_{22}.a_{33}-a_{32}.a_{23} & -(a_{12}.a_{33}-a_{32}.a_{13}) & a_{12}.a_{23}-a_{22}.a_{13} \\ -(a_{21}.a_{33}-a_{31}.a_{23}) & a_{11}.a_{33}-a_{31}.a_{13} & -(a_{11}.a_{23}-a_{21}.a_{13}) \\ a_{21}.a_{32}-a_{31}.a_{22} & -(a_{11}.a_{32}-a_{31}.a_{12}) & a_{11}.a_{22}-a_{21}.a_{12} \end{array} \right)$$
Propriétés
$$det(A^T)=det(A)$$
$$det(A.B)=det(A)*det(B)$$
$$det(I)=1$$
$$det(A)^{-1}=\frac{1}{det(A)}$$
Si A orthogonal, \(det(A)= \pm 1\)
Si A a 1 ligne nulle ou 2 lignes identiques, alors \(det(A)=0\)
Si A a 1 colonne nulle ou 2 colonnes identiques, alors \(det(A)=0\)
Interchanger 2 lignes de A change seulement le signe de \(det(A)\)
Interchanger 2 colonnes de A change seulement le signe de \(det(A)\)
Multiplier une ligne de A par un scalaire \(\alpha\): \(det(A’)= \alpha.det(A)\)
Multiplier une colonne de A par un scalaire \(\alpha\): \(det(A’)= \alpha .det(A)\)
Multiplier une ligne de A par un scalaire & l’ajouter à une autre ligne : ne change pas \(det(A)\)
Multiplier une colonne de A par un scalaire & l’ajouter à une autre colonne : ne change pas \(det(A)\)
Si A est diagonale, alors son déterminant est égal au produit des éléments de la diagonale
Si A triangulaire supérieure : $$det(A)= \sum a_{nn}$$
Si A triangulaire inférieure : $$det(A)= \sum a_{nn}$$
Si A diagonale bloc (ou triangulaire supérieure ou triangulaire inférieure) :
\(det(A)=det(A_{11}) * … *det(A_{nn})\)
Matrice bloc:
$$\text{ si }D \in \mathbb{R}^{m*m}\text{ avec A,B,C,D des matrices}, det\left[ \begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array} \right]=det(A).det(D-C.A^{-1}.B)$$
$$\text{ si }D \in \mathbb{R}_m^{m*m}\text{ avec A,B,C,D des matrices}, det\left[ \begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array} \right]=det(D).det(A-B.D^{-1}.C)$$
Matrice diagonale
Une matrice diagonale D est une matrice carrée dont tous les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls
Exemple:
Matrice diagonale d’ordre 4
$$D=\left( \begin{array}{cc} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array} \right) \rightarrow D^n=\left( \begin{array}{cc} 2^n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & (-1)^n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1^n & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3^n \end{array} \right)$$
Matrice triangulaire
Une matrice triangulaire supérieure T est une matrice carrée dont tous les termes en-dessous de la diagonale sont nuls.
\((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)
Une matrice triangulaire inférieure T est une matrice carrée dont tous les termes au-dessus de la diagonale sont nuls.
Une matrice triangulaire est strictement triangulaire lorsque que la diagonale est nulle.
La puissance n-ième de T est une matrice T
Si T une matrice strictement triangulaire d’ordre n alors toutes ses puissances à partir de n sont nulles.
Matrices creuses
Matrices avec beaucoup de coefficients nuls : facilite les calculs car possibilité de calculer « par blocs »
Diagonalisation, d’une matrice d’ordre 2
Une matrice carrée A est diagonalisable s’il existe une matrice carrée P inversible et une matrice diagonale D tel que : \(A=P*D*P^{-1} \rightarrow A^n=P*D^n*P^{-1}\)
$$[diag(D_{ii})]^{-1}=diag(\frac{1}{D_{ii}})$$
Matrice orthogonale si : \(A^{-1}=A^T\)
Classification
Diagonale si \(a_{ij} = 0\) pour \(i \neq j\)
Triangulaire supérieure si \(a_{ij} = 0\)pour \(i > j\)
Triangulaire inférieure si \(a_{ij} = 0\) pour \(i < j \)
Tridiagonale si \(a_{ij} = 0\) pour \( |i-j| > 1\)
Pentadiagonale si \(a_{ij} = 0\) pour \( |i-j| > 2\)
Hessemberg supérieure si \(a_{ij} = 0\) pour \(i-j > 1\)
Hessemberg inférieure si \(a_{ij} = 0\) pour \(j-i > 1\)
Transposée
La transposée d’une matrice A, noté \(A^T\), est la matrice pour laquelle la (i,j)ème entrée est la (j,i)ème entrée de A : \((A^T)_{ij} = a_{ji} \)
Exemple :
$$A = \left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 & 0 \\ 4 & 3 & -1 \end{array} \right] * A^T = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 2 & 3 \\ 0 & -1 \end{array} \right]$$
La transposée Hermitian, noté \(A^H\), sa (i,j)ème entrée est : \( (A^H)_{ij} = \overline{\rm a_{ij}}\) où \(\overline{\rm a_{ij}}\) le conjugué du complexe \(a_{ij} = \alpha + i \beta \)
$$det(A^H)=\overline{\rm det(A)}\text{ (si }A \in \mathbb{C}^{n*n}$$
$$(A^T)^T=A$$ $$(\lambda .A)^T=\lambda .A^T$$ $$(A+B)^T=A^T+B^T$$
$$(AB)^T=A^T.B^T $$ $$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$$
Matrice Jacobienne
Soient E,F,G 3 \(\mathbb{R}\)-espaces vectoriels différents de 0. On pose \(dim E = n\) et \(dim F = p\)
Soit \(U \in E\) un espace ouvert non vide, \(a \in U \) et \(f : U \rightarrow F\)
Soit \(B_E=(e_1,e_2,…,e_n)\) une base de E et \(B_F=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,…,\varepsilon_n)\) une base de F
Définition : On suppose f différentiable en a. On appelle une matrice Jacobienne de f en a relativement aux bases \(B_E\) et \(B_F\) la matrice de la différentielle \(df(a)\) de f en a relativement aux bases \(B_E\) et \(B_F\). Notée \(J_f(a)\). Si \(p=n\), le réel \(det(J_f (a)\) est le Jacobien de f en a, noté \(Jac_f(a)\)
$$J_f(a)=mat(df(a),B_E,B_F) = mat(D_1 f(a),… ,D_n f(a))=(\frac{\partial f_i}{\partial x_j })(a))_{\begin{array}{cc} 1 < i < p \\ 1 < j < p \end{array}}$$
$$J_f(a)= \left( \begin{array}{cc} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a) & … & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(a) \\ … & … & … \\ \frac{\partial f_p}{\partial x_1}(a) & … & \frac{\partial f_p}{\partial x_n}(a) \end{array} \right)$$
Opérations :
f + g différentiable en a et \(d(f+g)(a)=df(a)+dg'(a) \rightarrow J_{f+g }(a)=J_f(a) + J_g(a)\)
$$\forall \lambda \in \mathbb{R}, \lambda_f \text{ différentiable en a et }d(\lambda_f )(a)= \lambda df(a) \rightarrow J_{\lambda_f }(a)=\lambda.J_f (a)$$
$$J_{g \circ f} (a)=J_g (f(a))*J_f (a)$$