Gradiant
Soit la fonction \(f(x,y,z)\), la variation de \(f\) s’écrit : \(df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz\) est égale au produit scalaire du vecteur déplacement \(\overrightarrow{dM}(dx,dy,dz)\) et du vecteur coordonnées \((\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})\)
D’où : \(df=\overrightarrow{grad}f.\overrightarrow{dM} \text{ avec }\overrightarrow{grad}f(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})\)
Caractéristiques du vecteur
Normal à la surface iso-\(f\)
Dirigé dans le sens des \(f\) croissants
De coordonnées cartésiennes \((\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})\)
Coordonnées
Cartésiennes : \((x,y,z)\) Vecteur déplacement \((dx,dy,dz) \rightarrow \overrightarrow{grad}f (\frac{\partial}{\\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z})\)
Cylindriques : \((r,\theta,z)\) Vecteur déplacement \((dr,rd\theta,dz) \rightarrow \overrightarrow{grad}f (\frac{\partial}{\partial r},\frac{\partial}{r\partial\theta},\frac{\partial}{\partial z})\)
Sphériques : \((r,\theta,\phi)\) Vecteur déplacement \((dr,r.sin\phi d\theta,rd\phi) \rightarrow \overrightarrow{grad}f (\frac{\partial}{\partial r},\frac{\partial}{r.sin\phi.\partial\theta},\frac{\partial}{r\partial\phi})\)
Nabla
Opérateur aux dérivées partielles (et non un vecteur)
Soit une base orthonormée \((\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})\) :
$$\overrightarrow{grad}U = \overrightarrow{\nabla}U = (\frac{\partial}{\partial x}\overrightarrow{i},\frac{\partial}{\partial y}\overrightarrow{j},\frac{\partial}{\partial z}\overrightarrow{k})U = \frac{\partial U}{\partial x}\overrightarrow{i},\frac{\partial U}{\partial y}\overrightarrow{j},\frac{\partial U}{\partial z}\overrightarrow{k}$$
Divergence
Soit \( \overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}(M) = E_x \overrightarrow{i} + E_y \overrightarrow{j} +E_z \overrightarrow{k} \rightarrow \) un champ vecteur $$div \overrightarrow{E} = \overrightarrow{\nabla}\overrightarrow{E} = (\frac{\partial}{\partial x}\overrightarrow{i},\frac{\partial}{\partial y}\overrightarrow{j},\frac{\partial}{\partial z}\overrightarrow{k}).(E_x \overrightarrow{i} + E_y \overrightarrow{j} +E_z \overrightarrow{k}) = \frac{\partial U}{\partial x}\overrightarrow{i},\frac{\partial U}{\partial y}\overrightarrow{j},\frac{\partial U}{\partial z}\overrightarrow{k}$$ $$div \overrightarrow{E} = \overrightarrow{\nabla}\overrightarrow{E} = \frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}$$
Rotationnel
$$\overrightarrow{rot}\overrightarrow{E} = \overrightarrow{\nabla} \wedge \overrightarrow{E} = \left| \begin{array}{cc} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array} \right| \wedge \left| \begin{array}{cc} E_x \\ E_y \\ E_z \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cc} \frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z} \\ \frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x} \\ \frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y} \end{array} \right|$$
Laplacien
Scalaire
$$ \triangle P = \overrightarrow{\nabla}^2 P = \overrightarrow{\nabla}(\overrightarrow{\nabla} P) = \frac{\partial^2 P}{\\partial x^2},\frac{\partial^2 P}{\partial y^2},\frac{\partial^2 P}{\partial z^2} \text{ avec } P(x,y,z) \text{ un champ vectoriel}$$
Vectoriel
$$\overrightarrow{\triangle} \overrightarrow{u} = \overrightarrow{\nabla}^2 \overrightarrow{u} = \left| \begin{array}{cc} \frac{\partial^2 u_x}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_x}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u_x}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 u_y}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_y}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u_y}{\partial z^2} \\ \frac{\partial^2 u_z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_z}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u_z}{\partial z^2} \end{array} \right|$$
Relations
$$div(\overrightarrow{grad})= \text{Laplacien scalaire} $$ $$div(rot)=0$$ $$rot(rot)=\overrightarrow{grad}(div)-\text{Laplacien vectoriel}$$ $$\text{Laplacien vectoriel} \leftrightarrow \triangle \overrightarrow{V} = \overrightarrow{grad}(div\overrightarrow{V})-\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{rot}\overrightarrow{V})$$ $$rot(\overrightarrow{grad}) = 0 $$ $$\overrightarrow{a} \wedge (\overrightarrow{b} \wedge \overrightarrow{c})= \overrightarrow{b}.(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c})-\overrightarrow{c}.(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})=(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}).\overrightarrow{b}-(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}).\overrightarrow{c}$$