Équations différentielles (Eq. Diff.) à variables séparables 1

Forme : \((\phi(y))’ = f(x) \rightarrow \)Solution (Primitives des 2 membres) : \(\phi(y) = F(x) + C\) avec \(C\) une constante
Exemple :
Résoudre Eq. Diff. \((E):3.x.y’ = y\) où \(y\) une fonction non nulle et \(x \in ]0;+\infty[\)
Solution : L’équation \((E)\) s’écrit : \(\frac{y’}{y} = \frac{1}{3x}\)
On obtient : \(ln|y|=\frac{1}{3} ln|x|+C\) ce qui s’écrit : \(ln|y|=\frac{1}{3}ln⁡(x) + C\) pour \(x \in ]0;+\infty[\)
\(|y|=e^{ln⁡(x \frac{1}{3}+C)} = x^{\frac{1}{3}}*e^C=\alpha \sqrt[3]{x}\) avec \(\alpha\) constante réelle <0
On peut résumer toutes les solutions par l’écriture unique : \(y = k.\sqrt[3]{x}\),avec \(k \in \mathbb{R}\)

Équations différentielles linéaires d’ordre 1

Définition :
Linéaire : une fonction et sa dérivée interviennent séparément
Forme : \((E): a(x).y'(x) + b(x).y(x) = f(x) \) où \(a\),\(b\) et \(f\) des fonctions de la variable \(x\)
« À coefficients constants » signifient que \(a\) et \(b\) sont constants \(\rightarrow (E):a.y'(x) + b.y(x) = f(x)\)
Second membre : fonction \(f\) est le second membre, si \(f(x) = 0\) l’équation est sans 2nd membre.

Équation sans 2nd membre

Soit \((E_0 ): a.y'(x)+b.y(x) = 0\) avec \(a(x)\neq 0\)
Toutes les solutions de \((E_0)\) sur l’intervalle \(I\) sont les fonctions de forme : \(y_0(x) = k.e^{-G(x)}\) où \(G\) est la primitive de la fonction \(g(x) = \frac{b(x)}{a(x)}\) et \(k\) une constante réelle
\(\rightarrow\) On dit que \(y_0(x)=k.e^{-G(x)}\) est la solution générale de \((E_0)\) sur l’intervalle \(I\).

Équation avec 2nd membre

\(y_p(x)\) est une solution particulière de \((E)\).
\(\rightarrow\) Toutes les solutions de \((E)\) sur l’intervalle \(I\) sont la somme de la solution générale et de la solution particulière : \(y(x)=y_0(x)+y_p(x)\)

Recherche d’une solution particulière : Méthode de variation de constante

Soit \(y_0(x)=k.e^{-G(x)}\) les solutions sont différentes de 0 de \((E_0)\). On cherche une solution particulière \(y_p(x)\) du même type que \(y_0(x)\) en faisant « varier la constante ».
On pose : \(y_p(x)=k(x).\phi_0(x)\)\) où \(\phi_0(x)=e^{-G(x)}\) et \(k\) une fonction à déterminer.
Toutes les solutions de \((E)\) sur l’intervalle \(I\) sont les fonctions de forme : \(y(x) = y_0(x)+k(x).\phi_0(x)\)
Où la fonction \(k\) est primitive de la fonction :
$$h(x)=\frac{f(x)}{a(x).\phi_0(x)}$$ Exemple :
Soit l’Eq. Diff. : $$(E): y'(x)+3.y(x) = x$$ On note \(y_0(x)\) la solution générale de l’Eq. Diff. sans 2nd membre : \((E_0): y'(x)+3.y(x)=0\)
\(y_0(x)=k.e^{-3x}\) où \(k\) une constante réelle
Pour déterminer la solution particulière, on applique la méthode de variation de la constante :
$$h(x)=\frac{f(x)}{a(x).\phi_0(x)}=\frac{x}{e^{-3x}} =x.e^{3x}$$ $$y_p(x)=k(x).\phi_0(x)\text{ avec }k'(x)= h(x) = x.e^{3x}$$ Une intégration par parties permet d’obtenir l’expression de la fonction \(k\) :
$$k(x)=\frac{1}{3}.x.e^{3x}-\frac{1}{9}.e^{3x}$$ On en déduit la solution générale : $$y(x)=y_0(x)+k(x).\phi_0(x) = ke^{-3x}+(\frac{1}{3}.x.e^{3x}-\frac{1}{9}.e^{3x}).e^{-3x}$$ $$y(x) =k.e^{-3x}+\frac{1}{3}.x-\frac{1}{9}\text{ où k une constante réelle}$$

Eq. Diff. d’ordre 1 à coefficients constants

On peut chercher une solution particulière du même type que le 2nd membre \(f(x)\).
Cette méthode fonctionne pour des fonctions du type polynômes, sinusoïdes ou exponentielles.
Exemple
Soit l’Eq. Diff. :\((E) y'(x)+3.y(x) = x\)
On note \(y_0(x)\) la solution générale de l’Eq. sans 2nd membre :\((E_0): y'(x)+3.y(x) = 0\)
\(y_0(x)=k.e^{-3x}\) où \(k\) une constante réelle
Pour déterminer la solution particulière, on cherche une solution de forme : \(y_p(x)=ax+b\)
On calcule la dérivée : \(y’_p(x)=a\) et on remplace de \((E):a+(ax+b)*3 = x\)
On obtient le système suivant :
$$ \left\{ \begin{array}{ll} 3.a = 1 \\ a + 3.b = 0 \end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} a=\frac{1}{3} \\ b=-\frac{1}{9} \end{array} \right. $$ Finalement :
$$y(x) = k.e^{-3x}+\frac{1}{3}.x-\frac{1}{9}$$ où \(k\) une constante réelle

Équations différentielles (Eq. Diff.) à variables séparables 2

Peut s’écrire :
$$a(y).y’=b(x) \leftrightarrow a(y).\frac{dy}{dx}=b(x) \leftrightarrow a(y).dy = b(x).dx$$ avec \(a\),\(b\) 2 fonctions

Résolution

Il faut primitiver les 2 membres de l’égalité : \(A(y)=B(x)+C\) avec \(C\) une constante réelle, \(A\) une primitive de \(a\), \(B\) une primitive de \(b\)
Les solutions \(a(y).y’=b(x)\) sont \(y=f(x)\) qui vérifient \(A(y) = B(x) + C\)
Si on peut inverser \(A\), de solution générale : \(f(x)=A^{-1}(B(x)+C)\)
Pour déterminer la solution particulière de l’Eq. Diff. vérifiant \((x_0;y_0)\):
Chercher la solution générale puis déterminer \(C\) avec \(y_0=f(x_0)\) (1)
Ou, intégrer l’équation sous forme séparée à partir de la condition initiale (2) :
La solution de \(a(y).y’ = b(x)\) vérifiant la condition initiale \((x_0,y_0)\) est la fonction \(y=f(x)\) tel que :
$$\int_{y_0}^y a(u)du=\int_{x_0}^x b(t)dt$$ \((1) \rightarrow\) méthode longue

\((2) \rightarrow\) méthode courte
Exemple :
Déterminer la solution de l’Eq. Diff. :
\(y’=4.x^3(1+y)\) qui vérifie la condition initiale \((x_0;y_0 )=(1;0)\)
\(y’=4x^3 (1+y) \leftrightarrow \frac{y’}{1+y} = 4.x^3\) ou \(\frac{dy}{1+y}=4.x^3dx\) (on met toutes les variables identiques en semble)
On intègre : \(\frac{dy}{1+y}=4.x^3dx\) à partir des bornes correspondantes à la condition initiale :
$$\int_0^y \frac{du}{1+u}=\int_1^x 4t^3dt \leftrightarrow [ln⁡(u+1)]_0^y = [t^4]_1^x \leftrightarrow ln⁡(y+1)-0 = x^4-1 \leftrightarrow y+1=e^{x^4-1} \leftrightarrow y=-1+e^{x^4-1}$$

Équations différentielles linéaires d’ordre 1

Forme : \((E): a(x).y'(x)+b(x).y(x) = f(x)\) où \(a\),\(b\) et \(f\) des fonctions de la variable \(x\)
Si \(c(x)=0\), alors l’équation est sans 2nd membre
Principe de résolution :
1) Résoudre l’Eq. Diff. sans 2nd membre : équation homogène
$$(H): a(x).y'(x)+b(x).y(x)=0$$ Par cela :
$$a(x).y'(x)+b(x).y(x)=0 \rightarrow y'(x)=-\frac{b(x)}{a(x)}.y(x)=u(x).y(x)\text{ où }u(x)=-\frac{b(x)}{a(x)} $$ Soit \(U\) une primitive de \(u\) : \(y=\lambda.e^{U(x)}\), avec \(\int -\frac{b(x)}{a(x)}dx = U(x)+C\)
Après résolution, on obtient la solution générale sous la forme : \(y=\lambda.g(x)\) avec \(g(x)=e^{U(x)}\)
Exemple :
$$I=]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[, (cos⁡(x) ).y’+(sin(x)).y=0 \rightarrow y’= -\frac{sin(x)}{cos⁡(x)}.y$$ On a :
$$\int -\frac{sin(x)}{cos⁡(x)}dx = ln|cos⁡(x)|+C$$ La solution générale est donc :
$$y=\lambda.e^{ln|cos⁡(x)|} = \lambda.cos(⁡x)$$ 2) Trouver la solution particulière
2 méthodes :
– Par intuition, souvent le cas quand le 2nd membre est constant ou un polynôme simple. On cherche la solution particulière par identification.
– En utilisant la méthode de la variation de la constante :
On remplace la constante \lambda par une fonction \(\lambda(x)\) : \(y = \lambda(x).g(x)\)
$$y’=\lambda'(x).g(x) + \lambda(x).g'(x) \rightarrow \text{ Solution lorsque }a(x).y’+b(x).y=c(x)$$ $$a(x).(\lambda'(x).g(x) + \lambda(x).g'(x)) + b(x).(\lambda(x).g(x)) = c(x)$$ $$\leftrightarrow a(x).\lambda'(x).g(x) + \lambda(x).(a(x).g'(x) + b(x).g(x)) = c(x)$$ Or \(g\) solution de \(H\), donc : \(a(x).g'(x) + b(x).g(x) = 0\), les solutions de \((E)\) sont les fonctions :
$$y =\lambda(x).g(x)\text{ avec }\lambda'(x) = \frac{c(x)}){a(x).g(x)}$$ On primitive :
$$\int \frac{c(x)}{a(x).g(x)} = F(x)+C$$ Les solutions de \((E)\) sont :
$$y = (F(x)+C).g(x) = F(x).g(x)+C.g(x)$$ Exemple :
Résoudre : \((E): 2.x.y’ – y=\sqrt{x}\) sur \(I=]0;+\infty[\) $$(H): 2.x.y’-y = 0 \leftrightarrow y’=\frac{1}{2x}.y$$ $$\int \frac{1}{2x}.ydx=\frac{1}{2}.ln|x|+C=ln⁡(x^{\frac{1}{2}})+C$$ $$y=\lambda.e^{ln|x^{\frac{1}{2}}|} =\lambda.\sqrt{x}$$ Les solutions de \((E)\):
$$2x.\lambda'(x).\sqrt{x}+\lambda(x).(2x.g'(x))-g(x)=\sqrt{x} \leftrightarrow \lambda'(x)=\frac{1}{2x}$$ $$(2x.g'(x))-g(x) = 0\text{ car g solution de H}$$ $$\lambda(x)=\frac{1}{2}.ln⁡(x)+C$$ La solution générale de \((E)\) est :
$$y=(\frac{1}{2}.ln(⁡x)+C).\sqrt{x}=\sqrt{x}.ln⁡(\sqrt{x})+C.\sqrt{x}$$

Tags: équations différentielles; premier ordre; écoulement d’un fluide; résolution