Rappels

Primitive de \(F\): \(F’ = f\)
Toute fonction continue sur \(I\) possède au moins une primitive sur \(I\).
2 primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante.
Linéarité:
$$\int (f(x)+g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx$$
$$\int \lambda.f(x) \, dx = \lambda.\int f(x) \, dx$$
L’intégrale entre \(a\) et \(b\) de \(f\) est:
$$\int_a^b f(x) \,dx = F(b)-F(a)$$

Relation de Chasles

$$\int_a^c f(x) \,dx = \int_a^b f(x) \,dx + \int_b^c f(x) \,dx $$
$$\int_a^a f(x) \,dx =0$$
$$\int_b^a f(x) \,dx = – \int_a^b f(x) \,dx$$

Positivité

$$ \forall x \in [a;b], f(x)\geq 0 \Rightarrow \int_a^b f(x) \,dx \geq 0 $$

Intégration par parties

Soient \(u\) et \(v\) 2 fonctions dérivables sur \([a;b]\) et dérivables continues sur ce même intervalle :
$$\int_a^b u(x).v'(x) \,dx = [u(x).v(x)]_a^b – \int_a^b u'(x).v(x) \,dx $$
Ou :
$$\int_a^b u'(x).v(x) \,dx = [u(x).v(x)]_a^b – \int_a^b u(x).v'(x) \,dx $$

Changement de variable

Une fonction \(φ\) dérivable sur \(I\) et \(a,b ∈ I\). Soit \(J\) un intervalle contenant \(φ(I)\).
Soit \(f\) définie et continue sur \(J\), et \(F\) une primitive de \(f\) sur \(J\) :
$$\int_a^b f(φ(x)).φ'(x) \,dx = \int_{φ(a)}^{φ(b)} f(u) \,du $$
À retenir :

• Changer les bornes
• Changement de variable d’un seul coup
• Modifier le \(dx\) :

Si \(x = φ(t)\) alors \(dx = φ'(x)dt\)
Si \(u = φ(x)\) alors \(du = φ'(x)dx\)
On ne peut pas remplacer \(dx\) par \(\frac{du}φ'(x)\) car \(u\) et \(x\) ne cohabitent pas dans la même expression.
Exemple :
$$ I=\int_{\frac13}^{\frac12} x\sqrt{1-x^2} \,du $$
On pose \(x^2=u\), donc \(2xdx=du\) et \(xdx=\frac{du}2\)
Pour \(x=\frac{1}3\), \(u=\frac{1}9\) et pour \(x=\frac{1}2\), \(u=\frac{1}4\)
Donc
$$ I=\int_{\frac13}^{\frac12} \sqrt{1-x^2} \,(xdx) = \int_{\frac14}^{\frac19} \sqrt{1-u} \,\frac{du}2 $$

Changement de variable dans un calcul primitive

À retenir :

• Lorsqu’on fait un changement de variable, on ne s’occupe pas des bornes
• Penser à revenir à la variable initiale à la fin
• Penser à la constante
• Ne pas oublier \(dx\) (ou \(dt\), ou \(du\) …)

Exemple : Déterminer les primitives de \(f:x \rightarrow \sqrt{1+x^2}\) sur \(\mathbb{R}\)
\(x=sinh⁡(t)\) car \(cosh^2⁡(t)-sinh^2(t)=1\), donc \(1+sinh^2⁡(t)=cosh^2(t)\)
$$ F(x)=\int f(x) \,dx = \int \sqrt{1+sinh^2⁡(t)}*(cosh(t) \,dt)= \int \sqrt{cosh^2⁡(t)}*(cosh(t) \,dt)= \int cosh^2(t) \,dt $$
On sait que \(cosh⁡(t)≥1>0\) pour tout \(t∈\mathbb{R}\)
$$ F(x) = \int cosh^2(t) \,dt = \int (\frac{e^{t}+e^{-t}}2)^2 \,dt = \int \frac{e^{2t}+e^{-2t}+2}4 \,dt$$
$$F(x)=\int (\frac{1}2 + \frac{cosh(2t)}2) \,dt = \frac{t}2 + \frac{sinh(2t)}4 +C=\frac{t}2 + \frac{sinh(t)*cosh(t)}2 +C$$
Car \(sinh⁡(2t)=2 sinh⁡(t)*cosh⁡(t)\)
Revenir à la variable \(x\) sachant que : \(x=sinh⁡(t)\), on a : \(t=arg⁡sinh⁡(x)\), donc :
$$ F(x)=\frac{arg⁡sinh⁡(x)}2 + \frac{sinh⁡(arg⁡sinh⁡(x))*cosh⁡(arg⁡sinh⁡(x))}2 + C = \frac{arg⁡sinh⁡(x)}2 + \frac{x\sqrt{1+x^2}}2 + C$$ (\(cosh⁡(x) = arg⁡sinh⁡(x) =\sqrt{1+x^2}\))
On a prouvé que :
$$ \int \sqrt{1+x^2} \,dt = \frac{1}2*(arg⁡sinh⁡(x)+x\sqrt{1+x^2})+ C$$

Intégration d’une fonction paire ou impaire sur un intervalle « symétrique »

\(f\) paire \(\rightarrow \int_{-a}^a f(x) \,dx =2\int_0^a f(x) \,dx\)
\(f\) impaire \(\rightarrow \int_{-a}^a f(x) \,dx =0\)

Primitives usuelles

f(x)	F(x)	Intervalle de définition	Conditions
\(x^n\)	\(\frac{x^{n+1}}{n+1}\)	\(\mathbb{R}\)	\(\text{si } n \in \mathbb{R}\)
\(x^n\)	\(\frac{x^{n+1}}{n+1}\)	\(]-\infty;0[\text{ et }]0;+\infty[\)	\(\text{si } n \in \mathbb{Z} \setminus \{1 \} \)
\(\frac{x^{n+1}}{n+1} = x^{-1}\)	\(ln\vert x \vert\)	\(]-\infty;0[\text{ et }]0;+\infty[\)
\(x^{\alpha}\)	\(\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}\)	\(]0;+\infty[\)	\(\text{si } \alpha \in \mathbb{R} \setminus \{1 \}\)
\(\frac{1}{x^2+1}\)	\(arctan⁡(x)\)	\(\mathbb{R}\)
\(x^n\)	\(arcsin(x)\)	\(]-1;1[\)
\(\frac{1}{x^2+1}\)	\(arctan⁡(x)\)	\(\mathbb{R}\)
\(e^x\)	\(e^x\)	\(\mathbb{R}\)
\(sin(x)\)	\(-cos(x)\)	\(\mathbb{R}\)
\(cos(x)\)	\(sin(x)\)	\(\mathbb{R}\)
\(sinh(x)\)	\(cosh(x)\)	\(\mathbb{R}\)
\(cosh(x)\)	\(sinh(x)\)	\(\mathbb{R}\)
\(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)	\(argsinh(x)\)	\(\mathbb{R}\)
\(\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\)	\(argcosh(x)\)	\(]1;+\infty[\)
\(g'(ax+b)\)	\(\frac{g(ax+b)}{a}\)		\(a \neq 0\)

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