Les nombres complexes sont des nombres qui ont une partie réelle et une partie imaginaire. Ils sont généralement notés sous la forme a + bi, où a est la partie réelle et bi est la partie imaginaire. La partie imaginaire est toujours multipliée par i, qui est la racine carrée de -1. Les nombres complexes peuvent être additionnés, soustraits, multipliés et divisés comme les nombres réels, mais ils ont des propriétés supplémentaires telles que la conjugaison, le module et l’argument. Les nombres complexes permettent de résoudre des équations polynomiales qui n’ont pas de solution dans l’ensemble des nombres réels. Les nombres complexes sont utilisés dans de nombreuses applications en physique, en ingénierie et en informatique. On peut les utiliser pour décrire les phénomènes comme les ondes électromagnétiques, les systèmes oscillants et les circuits électroniques.

Soit un complexe : \(z=a+ib\) où \(a,b \in \mathbb{R}\) \(\rightarrow\) écriture algébrique
Partie réelle : \(Re(z)=a\)
Partie imaginaire : \(Im(z)=b\) \(\rightarrow\) si \(a=0\) alors \(z\) est un imaginaire pur
Si \(b=0\) alors \(z\) est un nombre réel
Conjugué : \(\overline{z} = a-ib\), \(z\) et \(\overline{z}\) ont la même partie réelle \(Re\), mais la partie imaginaire \(Im\) différent

Opérations

Somme : \(z+z’=(a+a’)+i(b+b’)\)
Produit : \(z.z’=aa’-bb’+i(ab’+a’b)\)
Inverse &  quotient : $$\frac{1}{z} = \frac{1}{a+ib} = \frac{a-ib}{a^2+b^2} = \frac{a}{a^2+b ^2} +i\frac{-b}{a^2+b^2} = \frac{1}{a+ib} *\frac{\overline{z}}{\overline{z}}$$

Opérations et conjugués

$$\overline{z+z’}=\overline{z}+\overline{z’}$$ $$z+\overline{z’}= 2a = 2* Re(z)$$ $$\overline{z*z’}=\overline{z}*\overline{z’}$$ $$z-\overline{z’}= 2ib = 2i* Im(z)$$ $$z*\overline{z’}=a^2 + b^2$$ $$\overline{\frac{z}{z’}}= \frac{\overline{z}}{\overline{z’}}$$

Écriture trigonométrique

Module de z :\( \vert z \vert = \sqrt{a^2 + b^2}= \sqrt{z*\overline{z’}}=r\)
Argument de z : \( arg(z)= \theta + k*2\pi\) où \( k \in \mathbb{R}\)
$$cos(\theta)=\frac{a}{r}$$ $$sin(\theta)=\frac{b}{r}$$ Coordonnées cartésiennes : \(M(a,b)\text{ }z=a+ib=r*(cos⁡(\theta)+i sin⁡(\theta))\)
Coordonnées polaires : \( M[(r,\theta)]\)

Opérations sur les Modules &  Argumentation

Module

$$ \vert z \vert +\vert z’ \vert \geq \vert z+z’ \vert$$ $$ \vert z \vert =\vert \overline{z} \vert$$ $$\vert z \vert *\vert \overline{z} \vert = \vert z*z’ \vert$$ $$ n \in \mathbb{R}, \vert z^n \vert ={\vert z \vert}^n$$ $$ z \neq 0, \vert \frac{1}{z} \vert =\frac{1}{\vert z \vert} \rightarrow \vert \frac{z}{z’} \vert = \frac {\vert z \vert}{\vert z’ \vert}$$

Argumentation

$$z \neq 0\text{ et }z’\neq0 $$ $$arg⁡(z.z’)=arg⁡(z)+arg⁡(z’) [2π]$$
[2π] signifie : modulo 2π
$$n \in \mathbb{N}, arg⁡(z^n)=n*arg(z) [2π]$$ $$arg⁡(1/z)=-arg⁡(z) [2π] \rightarrow arg⁡(\frac{z}{z’}) = arg⁡(z) – arg⁡(z’) [2π] $$ $$arg⁡(\overline{z})=-arg⁡(z) [2π]$$

Écriture exponentielle

$$e^{i\theta}= cos(\theta)+isin(\theta)$$ $$\vert e^{i\theta} \vert= 1$$ $$arg(e^{i\theta})= \theta + k*2\pi \text{ où } k \in \mathbb{Z}$$ $$ z = r.e^{i\theta}$$ Propriétés :
$$e^{je\theta}*e^{i\theta’}= e^{i(\theta+\theta’)}$$ $$\frac{1}{e^{i\theta}}= e^{-i\theta}= \overline{e^{i\theta}}$$ $$\frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta’}}= e^{i(\theta-\theta’)}$$ $$(e^{i\theta})^n= e^{in\theta}$$

Formule d’Euler

$$\begin{array}{cc} e^{i\theta}= cos(\theta)+i.sin(\theta) \\ e^{-i\theta}= cos(\theta)-i.sin(\theta ) \end{array}$$ $$\rightarrow cos(\theta)=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$$ $$\rightarrow sin(\theta)=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$$ $$cos^3(\theta)=(\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2})^3 = \frac{1}{2}*(e^ {3i\theta}+e^{-3.i.\theta}+3e^{i\theta}+3e^{-i\theta}) =\frac{1}{4}*(cos(3\theta)+ 3cos(\theta))$$ $$\rightarrow (cos(\theta)+i.sin(\theta))^n = cos(n\theta)+i.sin(n\theta)$$ $$cos(a+b)+i.sin(a+b)= (cos(a)+i.sin(a))*(cos(b)+i.sin(b)) = cos(a).cos(b)-sin (a).sin(b)+i[cos(a).sin(b)+sin(a).cos(b)]$$ $$cos(a+b) = cos(a).cos(b)-sin(a).sin(b) \rightarrow \text{Partie réelle}$$ $$sin(a+b) = cos(a).sin(b)+sin(a).cos(b) \rightarrow \text{Partie imaginaire}$$

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