$$\frac{d f}{d x} = f’$$
La fonction \(f\) admet un développement limité à l’ordre \(n\) au voisinage de 0 (\(D.L_n (0)\)) :
$$ \forall x, f(x)= a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_nx^n + x^n.\varepsilon(x) avec \lim_{x \to 0} \varepsilon(x) = 0$$
$$ A(x)= a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_nx^n \text{polynôme de degré}\leq n \rightarrow \text{partie régulière}$$
$$\varepsilon(x)=\frac{f(x)-A(x)}{x^n}$$
D’où:\(f(x)=A(x)+x^n \varepsilon(x)\)
Formule de Taylor-Young
Si \(f\) une fonction n fois dérivable sur un intervalle \(I\) contenant 0, alors la fonction \(f\) admet un D.L. à l’ordre \(n\) au voisinage de 0, qui est :
$$ f(x)= f(0) + f'(0)x + \frac{\frac{d f^2}{d x^2}(0)}{2!} x^2 + … + \frac{\frac{d f^n}{d x^n}(0)}{n!} x^n + x^n.\varepsilon(x) avec \lim_{x \to 0} \varepsilon(x) = 0$$
Propriétés
Troncature
On suppose \(f\) admet \(D.L_n (0)\), alors \(\forall n'< n \) la fonction \(f\) admet aussi \(D.L_{n’} (0)\) et on obtient A(x) de \(D.L_{n’} (0)\) en « tronquant » celle de \(D.L_n (0)\), c’est-à-dire en gardant que les termes de degré \(\leq n’\)
Preuve :
$$ f(x)= a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_{n’}x^{n’} + a_{n’+1}x^{n’+1} + … + a_nx^n + x^n.\varepsilon(x)$$
$$ f(x)= a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_{n’}x^{n’} + x^{n’}(a_{n’+1}x + … + a_nx^{n-n’} + x^{n-n’}.\varepsilon(x))$$
$$ f(x)= a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_{n’}x^{n’} + x^{n’}.\varepsilon_1(x)$$
Unicité
Si \(f\) admet 1 D.L. à l’ordre \(n\) au voisinage de 0 alors ce D.L. est unique
Parité
Soit \(f\) une fonction définie au voisinage de 0 et admettant un D.L. avec A(x)
Si \(f\) est paire alors A(x) polynôme pair, dont les termes non nuls sont de degré pair.
Si \(f\) est impaire alors A(x) polynôme impair, dont les termes non nuls sont de degré impair.
Techniques de détermination
Changement de variable
Exemple : Calculer le D.L. à l’ordre 3 de \(f_1\) définie par : \(f_1(x)=\sqrt[3]{1-2x}\)
On écrit : \(f_1(x)=(1-2x)^{\frac13}=(1-u)^{\frac13}\text{ avec }u=-2x\)
On applique la formule de Taylor-Young du D.L. de \((1-x)^α \text{ avec }α=\frac13\):
$$ f_1(x)= 1 + \frac{1}{3}u + \frac{\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)}{2!} u^2 + \frac{\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)(\frac{1}{3}-2)}{3!} u^3 + u^3.\varepsilon(x)$$
$$ f_1(x)= 1 + \frac{1}{3}(-2x) + \frac{-2}{3*3*2} (-2x)^2 + \frac{1*(-2)(-5)}{3*3*3*6} (-2x)^3 + x^3.(-8.\varepsilon(-2x))$$
$$ f_1(x)= 1 – \frac{2}{3}x – \frac{4}{9} x^2 – \frac{40}{81} x^3 + x^3.\varepsilon_1(x)$$
On a posé:\(\varepsilon_1(x)=-8.\varepsilon(-2x)\)
Linéarité
Possibilité addition, multiplication par 1 constante des D.L.
Multiplication de 2 D.L.
Possibilité multiplication de 2 D.L. au même ordre. Il suffit de tronquer en cours de calcul et ne garder que les termes de degré inférieures ou égales à l’ordre souhaité.
Quotient de D.L.
Si on connaît 1 D.L. de \(f\) et 1 de \(g\) on peut obtenir le D.L. de \(\frac{f}{g}\) en faisant 1 division selon les puissances croissantes. Il faut de \(g(0)≠0\)
Composition de D.L.
Si \(f\) admet 1 \(D.L_n (0)\) et \(u\) une fonction qui admet 1 D.L. et qui tend vers 0, on peut composer les D.L.
D.L. au voisinage de \(x_0\)
Il suffit de ramener en 0 en posant \(x=x_0+h\), car lorsque \(x\) est au voisinage de \(x_0\), alors \(h\) est au voisinage de 0.
Formule de Taylor-Young en \(x_0\)
Soit \(f\) une fonction n fois dérivable sur un intervalle \(I\) contenant \(x_0\) ; alors \(f\) admet 1 D.L. à l’ordre \(n\) au voisinage de \(x_0 \) : $$ f(x)= f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{\frac{d f^2}{d x^2}(x_0)}{2!} (x-x_0)^2 + … + \frac{\frac{d f^n}{d x^n}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n + (x-x_0)^n.\varepsilon(x) avec \lim_{x \to 0} \varepsilon(x) = 0$$Développement asymptotique au voisinage de \(\infty\)
Lorsque c’est le voisinage de \(\infty\), il n’y a plus de D.L. mais un développement asymptotique (D.A.).
Méthode analogue à celle de \(x_0\)
On ramène en 0 (par exemple) \(h=\frac{1}{x}\) donc \(x=\frac{1}{h}\)
Pour \(x \rightarrow \pm \infty, h \rightarrow 0\)
Utile pour déterminer
- Comportement d’une fonction au voisinage \(\infty\)
- D’éventuelles asymptotes horizontales ou obliques
- La position relative de la courbe par rapport à l’asymptote
Formule Taylor-Lagrange
Soient \(n \in \mathbb{N}\) et \(f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\), une application définie sur un segment \([a,b]\), avec \(a < b\). On suppose \(f\) la fonction \(n\) fois dérivable sur \([a,b]\) et \((n+1)\) fois dérivable sur \(]a,b[\)
Il existe un nombre réel \(c \in ]a,b[\) tel que :
$$ \left| f(b)-f(a)-f'(a)(b-a)-\frac{\frac{d f^2}{d x^2}(a)}{2!}(b-a)^2 – … – \frac{\frac{d f^n}{d x^n}(a)}{n!}(b-a)^n \right| \leq \frac{(b-a)^(n+1)}{(n+1)!} M $$
Inégalité de Taylor-Lagrange
Soient \(n \in \mathbb{N}\) et \(f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\), une application définie sur un segment \([a,b]\), avec \(a < b\). On suppose \(f\) la fonction \((n+1)\) fois dérivable sur \([a,b]\) et l’application \(|f^{n+1}|\) est majorée par 1 constante \(M\). Il existe un nombre réel \(c \in ]a,b[\) tel que : $$|f(b)-f(a)-f'(a).(b-a)-\frac{\frac{d f^2}{d x^2}(a)}{2!}.(b-a)^2-⋯-\frac{\frac{d f^n}{d x^n}(a)}{n!}.(b-a)^n| \leq \frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}.M$$
Équivalents de fonctions usuelles quand \(x \rightarrow 0\)
| \(ln(1+x) \sim x\) | \(e^x-1 \sim x\) |
| \(1+x)^α-1 \sim αx (α \in \mathbb{R})\) | \(\sqrt{1+x}-1 \sim \frac12x\) |
| \(sin(x) \sim x\) | \(sinh(x) \sim x\) |
| \(1-cos(x) \sim \frac{x^2}{2}\) | \(cosh(x)-1 \sim \frac{x^2}{2}\) |
| \(tan(x) \sim x\) | \(tanh(x) \sim x\) |
| \(arcsin(x) \sim x\) | \(argsinh(x) \sim x\) |
| \(arctan(x) \sim x\) | \(argtanh(x) \sim x\) |
1 polynôme non nul équivalent à son terme du + bas degré
Une fraction rationnelle non nulle équivalente au quotient de ses termes du + bas degré
D.L. des fonctions relatifs à 0
$$ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3} – … +(-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}+o(x^n)$$
$$-ln(1+x) = x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3} + … +\frac{x^n}{n}+o(x^n)$$
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+…+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$$
$$cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-…+(-1)^p \frac{x^{2p}}{(2p)!}+o(x^{2p+1})$$
$$sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-…+(-1)^p \frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!}+o(x^{2p+2})$$
$$tan(x)=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+ \frac{17x^7}{315}+o(x^8)$$
$$cosh(x)=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+…+\frac{x^2p}{(2p)!}+o(x^{2p+1})$$
$$sinh(x)=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+…+\frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!}+o(x^{2p+2})$$
$$tanh(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+o(x^8)$$
$$arcsin(x)=x+\frac12 \frac{x^3}{3}+\frac38 \frac{x^5}{5}+…+\frac{(2p-1)}{(2p)} \frac{x^{2p+1}}{(2p+1)}+o(x^{2p+2})$$
$$arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-…+(-1)^p \frac{x^{2p+1}}{2p+1}+o(x^{2p+2})$$
$$argsinh(x)=x-\frac12 \frac{x^3}{3}+\frac38 \frac{x^5}{5}-…+(-1)^p \frac{(2p-1)}{(2p)} \frac{x^{2p+1}}{(2p+1)} +o(x^{2p+2})$$
$$argtanh(x)=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+…+\frac{x^{2p+1}}{(2p+1)}+o(x^{2p+2})$$
$$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+…+(-1)^n x^n+o(x^n)$$
$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+…+x^n+o(x^n)$$
$$(1+x)^\alpha=1+\frac{\alpha}{1!}+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}+…+\frac{\alpha(\alpha-1)…(\alpha-n+1)}{n!}+o(x^n)$$
$$\sqrt{1+x}=1+\frac12 x-\frac18 x^2+\frac{1}{16} x^3-\frac{5}{128}x^4+\frac{7}{256}x^5+o(x^5)$$