Le produit scalaire est une opération mathématique qui permet de mesurer l’angle entre deux vecteurs dans un espace vectoriel. Il est défini comme le produit de la longueur des vecteurs par le cosinus de l’angle entre eux. Il peut être calculé en multipliant la longueur d’un vecteur par la projection de l’autre vecteur sur lui. Le produit scalaire est un nombre réel qui peut être positif, négatif ou nul.
Le produit vectoriel est une autre opération mathématique qui permet de créer un nouveau vecteur à partir de deux vecteurs donnés. Il est défini comme le produit de la longueur des vecteurs par le sinus de l’angle entre eux et est orienté dans la direction orthogonale au plan formé par les deux vecteurs. Il peut être calculé en utilisant la règle de la main droite. Le produit vectoriel est un vecteur qui peut avoir une longueur, une direction et un sens.
Le produit scalaire et le produit vectoriel sont deux opérations différentes qui ont des applications dans de nombreux domaines mathématiques tels que la physique, la géométrie, la mécanique, la mécanique des fluides, la géodésie, etc.
Produit scalaire
Soit un vecteur: \( \overrightarrow{\rm u} \left( \begin{array}{cc} x \\ y \end{array} \right) ,\| \overrightarrow{\rm u} \| = \sqrt{x^2+y^2}\)
Si un vecteur est égal à 0 alors : \( \overrightarrow{\rm u}.\overrightarrow{\rm v}=0 \)
2 vecteurs non nuls : \( \overrightarrow{\rm u}.\overrightarrow{\rm v} = \| \overrightarrow{\rm u} \|.\|\overrightarrow{\rm v} \|. cos(\overrightarrow{\rm u},\overrightarrow{\rm v}) \)
Si angle aigu \( \rightarrow 0 \leq cos(\overrightarrow{\rm u},\overrightarrow{\rm v}) \leq 1 \)
Si angle obtus \( \rightarrow -1 \leq cos(\overrightarrow{\rm u},\overrightarrow{\rm v}) \leq 0 \)
Si \( \overrightarrow{\rm u} \) est perpendiculaire à \( \overrightarrow{\rm v} \) \( \rightarrow cos(\overrightarrow{\rm u},\overrightarrow{\rm v}) = 0 \)
Si \( \overrightarrow{\rm u} \) et \( \overrightarrow{\rm v} \) colinéaires \( \rightarrow \) de même sens \( \rightarrow cos(\overrightarrow{\rm u},\overrightarrow{\rm v}) = 1 \) donc \( \overrightarrow{\rm u}.\overrightarrow{\rm v} = \|\overrightarrow{\rm u} \|.\|\overrightarrow{\rm v} \| \)
\( \rightarrow \) de sens contraire \( \rightarrow cos(\overrightarrow{\rm u},\overrightarrow{\rm v}) = -1 \) donc \( \overrightarrow{\rm u}.\overrightarrow{\rm v} = -\|\overrightarrow{\rm u} \|.\|\overrightarrow{\rm v} \| \)
Aux normes : \( \overrightarrow{\rm u}.\overrightarrow{\rm v}= \frac{1}{2} *(\|\overrightarrow{\rm u}+\overrightarrow{\rm v} \|^2-\|\overrightarrow{\rm u} \|^2-\|\overrightarrow{\rm v} \|^2 ) \)
Analytiquement : \( \overrightarrow{\rm u} \left( \begin{array}{cc} x \\ y \end{array} \right) \) et \( \overrightarrow{\rm v} \left( \begin{array}{cc} x’ \\ y’ \end{array} \right) \rightarrow \overrightarrow{\rm u}.\overrightarrow{\rm v}=x.x’+y.y’\)
\( \overrightarrow{\rm u} \) et \( \overrightarrow{\rm v} \) orthogonaux si leur produit scalaire \( \overrightarrow{\rm u}.\overrightarrow{\rm v} = 0 \rightarrow cos(\overrightarrow{\rm u},\overrightarrow{\rm v}) = 0 \), c’est-à-dire \( (\overrightarrow{\rm u},\overrightarrow{\rm v} )= \frac{\pi}{2}\text{ ou }\frac{-\pi}{2} \)
\(\overrightarrow{\rm u}.\overrightarrow{\rm v} = 0 \), soit \( \overrightarrow{\rm u} = 0 \) soit \( \overrightarrow{\rm v} = 0 \) soit \( cos(\overrightarrow{\rm u},\overrightarrow{\rm v}) = 0 \)
Le vecteur nul \( \overrightarrow{\rm 0} \) orthogonal à tout vecteur
\( \|\overrightarrow{\rm u} \|^2= \overrightarrow{\rm u}.\overrightarrow{\rm u}=\overrightarrow{\rm u}^2 \) (Carré scalaire de \( \overrightarrow{\rm u}) \)
Propriétés
Symétrie : \( \overrightarrow{\rm u}.\overrightarrow{\rm v} = \overrightarrow{\rm v}.\overrightarrow{\rm u} \)
Distributivité : \( (\overrightarrow{\rm u}+\overrightarrow{\rm v} ).\overrightarrow{\rm w} = \overrightarrow{\rm u}.\overrightarrow{\rm w}+\overrightarrow{\rm v}.\overrightarrow{\rm w}\)
Multiplication par un réel :\( \lambda (\overrightarrow{\rm u}.\overrightarrow{\rm v} ) = ( \lambda . \overrightarrow{\rm u} ).\overrightarrow{\rm v} \)
\( (a. \overrightarrow{\rm u} ).(b. \overrightarrow{\rm v} ) = a.b.(\overrightarrow{\rm u}.\overrightarrow{\rm v} ) \)
Identités remarquables
$$ (\overrightarrow{\rm u}+\overrightarrow{\rm v} )^2= \overrightarrow{\rm u}^2+\overrightarrow{\rm v}^2 + 2.\overrightarrow{\rm u}.\overrightarrow{\rm v} = \|\overrightarrow{\rm u} \|^2. \| \overrightarrow{\rm v} \|^2 + 2.\overrightarrow{\rm u}.\overrightarrow{\rm v} $$ $$(\overrightarrow{\rm u} – \overrightarrow{\rm v})^2 = \overrightarrow{\rm u}^2 + \overrightarrow{\rm v}^2 – 2.\overrightarrow{\rm u}.\overrightarrow{\rm v} = \|\overrightarrow{\rm u} \|^2. \| \overrightarrow{\rm v} \|^2 – 2.\overrightarrow{\rm u}.\overrightarrow{\rm v}$$ $$(\overrightarrow{\rm u} + \overrightarrow{\rm v} )(\overrightarrow{\rm u} – \overrightarrow{\rm v}) = \overrightarrow{\rm u}^2 – \overrightarrow{\rm v}^2 = \| \overrightarrow{\rm u} \|^2 – \| \overrightarrow{\rm v} \|^2 $$
Produit vectoriel
$$ \| \overrightarrow{\rm u} \wedge \overrightarrow{\rm v} \| = \| \overrightarrow{\rm u} \| . \| \overrightarrow{\rm v} \| .sin(\overrightarrow{\rm u} \wedge \overrightarrow{\rm v})$$
$$ \overrightarrow{\rm u} \left( \begin{array}{cc} x \\ y \\ z \end{array} \right) \text{ et } \overrightarrow{\rm v} \left( \begin{array}{cc} x’ \\ y’ \\ z’ \end{array} \right), \overrightarrow{\rm u} \wedge \overrightarrow{\rm v} \left( \begin{array}{cc} y.z’ – z.y’ \\ z.x’ – x.z’ \\ x.y’ – y.x’ \end{array} \right)$$
3 vecteurs : \( \overrightarrow{\rm u},\overrightarrow{\rm v},\overrightarrow{\rm w} \)
$$\overrightarrow{\rm D}=\overrightarrow{\rm u} \wedge (\overrightarrow{\rm v} \wedge \overrightarrow{\rm w} ) = (\overrightarrow{\rm u}.\overrightarrow{\rm w}).\overrightarrow{\rm v} – (\overrightarrow{\rm u}.\overrightarrow{\rm v}).\overrightarrow{\rm w}$$
Distributivité :
$$\overrightarrow{\rm u} \wedge (\overrightarrow{\rm v} + \overrightarrow{\rm w} ) = \overrightarrow{\rm u} \wedge \overrightarrow{\rm v} + \overrightarrow{\rm u} \wedge \overrightarrow{\rm w}$$
Multiplication par 1 réel :
$$\lambda .(\overrightarrow{\rm u} \wedge \overrightarrow{\rm v} )=\lambda .\overrightarrow{\rm u} \wedge \overrightarrow{\rm v}=\overrightarrow{\rm u} \wedge \lambda .\overrightarrow{\rm v}$$
Non-commutativité :
$$\overrightarrow{\rm u} \wedge \overrightarrow{\rm v}=-\overrightarrow{\rm v} \wedge \overrightarrow{\rm u}$$
Déterminant :
$$det(\overrightarrow{\rm u},\overrightarrow{\rm v},\overrightarrow{\rm w} ) = det \left( \begin{array}{cc} u_1 & v_1 & w_1 \\ u_2 & v_2 & w_2 \\ u_3 & v_3 & w_3 \end{array} \right) = u_1 .(v_2.w_3 – v_3.w_2 ) – v_1 .(u_2.w_3-u_3.w_2 ) + w_1 .(u_2.v_3 – u_3.v_2)$$