Tenseurs

Soit \(\overrightarrow{\rm u}\) défini dans la base (x,y,z) et \(\overrightarrow{\rm u’} \) défini dans la base (x’,y’,z’)
\( \overrightarrow{\rm u’} = P^{-1}. \overrightarrow{\rm u}\) où P est la matrice de passage de l’ancienne vers la nouvelle base.

Définition du tenseur

Entité géométrique qui possède \(3^n\) composantes dans 1 système de coordonnées à 3 dimensions, n étant le rang (ou ordre) du tenseur.
Tenseur de rang 0 : \(3^0=1\), exemple : température
Tenseur de rang 1 : \(3^1=3\), exemple : vitesse
Tenseur de rang 2 : \(3^2=9\), exemple : dérivées spatiales de la vitesse
Ainsi les vecteurs sont des tenseurs de rang (ou d’ordre) 1.

Produit tensoriel

Le produit tensoriel de 2 tenseurs de rang n et m donne 1 tenseur de rang n+m
Exemple : tenseur de rang 1 \(a_i\) et\(b_j\), le tenseur \(c_{ij}\) de rang 2 défini comme :
$$c_{ij} = a_i . b_j \text{, en matriciel: } [c]=\left[ \begin{array}{cc} a_1.b_1 & a_1.b_2 & a_1.b_3 \\ a_2.b_1 & a_2.b_2 & a_2.b_3 \\ a_3.b_1 & a_3.b_2 & a_3.b_3 \end{array} \right]$$ $$\overrightarrow{\rm a} \otimes \overrightarrow{\rm b} = [c] = \overline{\overline{\rm c}} $$

Propriétés

Distributivité de l’addition :
$$[U \otimes(V_1+V_2 )](x,y)= [U \otimes V_1 + U \otimes V_2 ](x,y)$$ Distributivité de la multiplication :
$$\lambda.[U \otimes V](x,y)= [(\lambda.U) \otimes V](x,y)= [U \otimes (\lambda.V)](x,y)$$ Non-commutativité
Les tenseurs ne sont pas commutatifs.

Définitions usuelles

Tenseur identité (ou métrique) :
$$\overline{\overline{\rm I}} = \delta_{ij} (\overline{\rm e}_i \otimes \overline{\rm e}_j )\rightarrow \text{ Tenseur dont les composantes sont égales à 1 si i=j , et 0 sinon ; donc sur la diagonale.}$$
Tenseur inverse : de \(\overline{\rm T}\) noté \(\overline{\rm e}^{-1}\), tel que :
$$T_{ik}.T_{kj}^{-1}= \delta_{ij}$$ Tenseur unité : \(\delta_{ij}\) (ou symbole de Kronecker) :
$$\delta_{ij} = 1 \text{ pour i=j ;} [\delta]=I=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$$ Trace :
$$tr[c]=c_{ij}.\delta_{ij}=c_{ii}$$ Transposition :
– Produit vectoriel :
$$(\overrightarrow{\rm a} \otimes \overrightarrow{\rm b})^T = \overrightarrow{\rm b} \otimes \overrightarrow{\rm a}$$ – Tenseur :
$$\overline{\overline{\rm T}}^T=T_{ji} (\overline{\rm e}_i \otimes \overline{\rm e}_j)$$